DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL TEORİSİ VE NÜMERİK UYGULAMALARI

Abstract

Bu çalışma yedi bölüm olarak düzenlenmiştir. Birinci bölümde, Sturm-Liouville ve Dirac operatörlerinin spektral teorisinin (düz ve ters problemler) tarihçesi ve bu alanlarda yapılan çalışmalar ifade edilmiştir. Ayrıca tezde kullanılacak olan Adomian Ayrışım Metodu (ADM), Homotopi Analiz Metodu (HAM) ve Homotopi Pertürbasyon Metodu (HPM)' ndan bahsedilmiştir. İkinci bölümde, diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, Paley-Wiener uzayının elemanı olan fonksiyonlar sınıfından faydalanılarak regüler ve singüler Sturm-Liouville problemlerinin özdeğerleri detaylı olarak incelenmiştir. Dördüncü bölümde, Dirac operatörünün spektral teorisi açıklanmıştır. Ayrıca Paley-Wiener uzayının elemanı olan fonksiyonlar sınıfından faydalanılarak regüler kanonik Dirac denklemler sistemi için spektral sonuçlar elde edilmiştir. Beşinci bölümde, çalışmamızda kullanacağımız ADM, HAM ve HPM' larının temeli detaylı olarak verilmiştir. Altıncı bölümde, Dirac denklemler sistemine HAM ve HPM uygulanarak denklemler sisteminin nümerik çözümleri elde edilmiştir. Bu metotların hassaslıkları hakkında yorum yapılmıştır. Ayrıca elde edilen çözümlerin yakınsaklık analizleri yapılmıştır. Yedinci bölümde, Difüzyon denkleminin spektral teorisi hakkında bilgi verilmiştir. ADM, HAM ve HPM ile nümerik çözümleri elde edilen Difüzyon denklemi için metotların hassaslıkları ile ilgili yorum yapılmıştır. Anahtar Kelimeler: Özdeğer, Özfonksiyon, Sturm-Liouville Operatörü, Dirac Denklemler Sistemi, Difüzyon Operatörü, Paley-Wiener Uzayı, Adomian Ayrışım Metodu (ADM), Homotopi Analiz Metodu (HAM), Homotopi Pertürbasyon Metodu (HPM).

This study has been probed in seven sections. In Section 1, the history of spectral theory (well and ill-posed problem) Sturm-Liouville and Dirac operators and the studies that have been done in this area have been given. In addition to that Adomian Decomposition Method (ADM), Homotopy Analysis Method (HAM) and Homotopy Perturbation Method (HPM) that will be used in the thesis has been discussed in this section. In Section 2, some fundamental definitions and theorems used in spectral theory differential operators have been stated. In Section 3, eigenvalues of regular and singular Sturm-Liouville problems have been explained by means of functions which belongs to Paley-Wiener space. In Section 4, the spectral theory of Dirac operator has been explained. Also, spectral results for regular canonic Dirac equations system have been obtained by means of functions which belongs to Paley-Wiener space. In Section 5, the basic idea of ADM, HAM and HPM, which we use in our study, has been given in details. In Section 6, numerical solutions of equation system have been obtained by being applied HAM and HPM to Dirac equations systems. About sensitivity of these methods have been made comment. Also, convergence analysis of solutions, which have been obtained, have been done. In Section 7, information has been given about spectral theory of Diffusion equations. About the sensitivity of methods for diffusion equation, which has been obtained numerical solutions, with ADM, HAM and HPM have been made comment. Key Words: Eigenvalue, Eigenfunction, Sturm-Liouville Operator, Dirac Equation System, Diffusion Operator, Paley-Wiener Space, Adomian Decomposition Method (ADM), Homotopy Analysis Method (HAM), Homotopy Perturbation Method (HPM).