REGÜLER VE SİNGÜLER DİFERENSİYEL OPERATÖRLER İÇİN FARKLI SPEKTRAL VERİLERE GÖRE TERS PROBLEM

Abstract

Bu çalışma yedi bölümden oluşmuştur. İlk bölümde; Sturm-Liouville, Bessel, Difüzyon ve Dirac operatörlerinin spektral teorisinin tarihçesi verilmiştir. İkinci bölümde; diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde ve sunulan tezde sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde; bir boyutlu stasyoner Dirac operatörünün genel görüntüsü ve kanonik formları, özdeğerler için asimptotik formül, kanonik Dirac operatörü için matris dönüşüm operatörü incelenmiştir. Dördüncü bölümde; Bessel diferansiyel denklemi ve temel özellikleri verilmiş, dönüşüm operatörü ve Gelfand-Levitan integral denkleminden faydalanılarak Bessel operatörü için isospektral problem incelenmiştir. Beşinci bölümde; Difüzyon operatörünün bazı fiziksel ve spektral özellikleri verilmiş ve bu operatör için isospektral problem incelenmiş ve genel durumda çekirdekler için genel dejenerelik farklı bir yöntemle elde edilmiştir. Altıncı ve yedinci bölümde aralığın iç noktasında süreksizliğe sahip Dirac operatörü için iki farklı problem ele alınmış, bu problemlerin özdeğer ve özfonksiyonları için asimptotik formüller elde edilmiştir.

This thesis consists of seven chapters. In the first chapter the history of spectral theory of Sturm-Liouville, Bessel, Diffu-sion and Dirac operators were given. In the second chapter some fundemental definitions, often used in spectral theory of differential operators, were given. In the third part general form, canonic forms, asymptotic formula for eigenvalues of one-dimensional stationary Dirac operator and matrix transmutation operator of canonic Dirac operator were investigated. In the fourth chapter Bessel differential equation and basic properties of this equation were given and the isospectrality problem for Bessel operator is investigated by using transmutation operator and Gelfand-Levitan integral equation. In the fifth chapter some physical and spectral properties of the diffusion operator were given and isospectrality problem for this operator is examined and in the general case general degeneracy of the kernels is obtained by a different method. In the six and seven chapter two different problems for diccontinuous Dirac opera-tor is considered and asymptotic formulas of eigenvalues and eigenfunctions for this ope-rator were obtained.