BAZI LİNEER VE LİNEER OLMAYAN KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ

Abstract

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin tarihsel gelişimi ve çözüm yöntemleri hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, bu çalışmada gerekli olan bazı temel tanım ve teoremler ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, Kesirli Adams–Bashforth–Moulton Metodu, Genelleştirilmiş Deneme Denklem Metodu, Homotopi Analiz Metodu, Modifiye Edilmiş Kudryashov Metodu ve Modifiye Edilmiş Deneme Denklem Metodunun genel yapıları tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde, kesirli mertebeden lineer ve lineer olmayan adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü elde edilmiştir. Kesirli mertebeden Genelleştirilmiş Fisher denkleminin, Zaman-kesirli Genelleştirilmiş Burgers denkleminin, kesirli mertebeden Rosenau–Hyman denkleminin analitik ve sayısal çözümleri belirlenmiştir. Her bir diferansiyel denklem için elde edilen analitik ve sayısal çözümlerin iki ve üç boyutlu grafikleri çizildi, sayısal veri tabloları oluşturulmuş ve mutlak hata değerleri hesaplanmıştır. Beşinci bölümde ise bu çalışmada elde edilen analitik, sayısal ve yaklaşık çözümler dikkate alınarak kullanılan metotlar hakkında sonuç ifade edilmiştir.

This study consist of the five chapters. In the first chapter, it has been given informations on the solution techniques and one the historical structures of differential equations with fractional order was given and some information on the solution techniques were alsopresented. In chapter two, some fundamental definitions and theorems which are necessary in this study was introduced. In chapter three, the general structures of fractional Adams–Bashforth–Moulton Method, Extended Trial Equation Method, Homotopy Analysis Method, Modified Kudryashov Method and Modified Trial Equation Method were. In chapter four, the analytical and numerical solutions of fractional differential equations, Rosenau–Hyman equation with fractional order, Generalized Fisher equation with fractional order and Time-fractional Generalized Burgers equation with fractional order were obtained. Additionally, the numerical data tables concerning with the numerical results for every differential equations were constructed and the absolute errors related with this equation were calculated and the graphics were scathed in 2D and 3D spaces. In chapter five, it has been given a conclusion about techniques used by taking into account analytical, numerical and approximate solutions obtained in this study.