LİNEER VE LİNEER OLMAYAN KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ

Abstract

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin tarihsel gelişimi ve çözüm yöntemleri hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, bu çalışmada gerekli olan bazı temel tanım ve teoremler ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, Genelleştirilmiş Kudryashov Metodu (GKM), Sumudu Dönüşüm Metodu (SDM), Varyasyonel İterasyon Metodu (VIM) ve Homotopi Ayrışım Metodunun genel yapıları verilmiştir. Dördüncü bölümde ilk olarak, lineer olmayan zaman-kesirli Klein-Gordon denklemi, zaman-kesirli KdV ve mKdV denklemleri, zaman-kesirli genelleştirilmiş ikinci mertebeden Burgers denklemi, zaman-kesirli Cahn-Hilliard denklemi ve zaman-kesirli genelleştirilmiş üçüncü mertebeden KdV denkleminin analitik çözümlerini elde etmek için GKM kullanılmıştır. İkinci olarak, kesirli mertebeden homojen ve homojen olmayan adi diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerini elde etmek için SDM kullanılmıştır. Üçüncü olarak, kesirli mertebeden homojen ve homojen olmayan adi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini elde etmek için VIM kullanılmıştır. Son olarak da, kesirli mertebeden Kadomtsev-Petviashvili denkleminin yaklaşık çözümünü elde etmek için Homotopi Ayrışım Metodu kullanılmıştır. Bu metodlar yardımıyla elde ettiğimiz analitik ve yaklaşık çözümlerin iki ve üç boyutlu grafikleri Mathematica programı yardımıyla çizilmiştir. Beşinci bölümde ise bu çalışmada elde edilen analitik ve yaklaşık çözümler dikkate alınarak kullanılan metotlar hakkında sonuç ifade edilmiştir.

This study consist of the five chapters. In Section 1, it has been given informations on the solution techniques and one the historical structures of differential equations with fractional order was given and some information on the solution techniques were also presented. In Section 2, some fundamental definitions and theorems which are necessary in this study was introduced. In Section 3, the general structures of Generalized Kudryashov Method (GKM), Sumudu Transform Method (STM), Variational Iteration Method (VIM) and Homotopi Decomposition Method, were given. In Section 4, Firstly GKM was used to obtain analytical solutions of nonlinear time-fractional Klein-Gordon equation, time-fractional KdV and mKdV equations, time-fractional second-order Burgers equation, time-fractional Cahn-Hilliard equation and time-fractional generalized third-order KdV equation. Secondly, STM was utilized to find analytical solutions of homogeneous and non-homogeneous fractional ordinary differential equations. Thirdly, VIM was handled to reach approximate solutions of homogeneous and non-homogeneous fractional ordinary differential equations. Finally, Homotopi Decomposition Method (HDM) was tackled to gain approximate solutions of fractional Kadomtsev-Petviashvili equation. Two and three dimensional graphics of analytical and approximate solutions that we obtained by the help of these methods were plotted by means of Mathematica programme. In chapter five, it has been given a conclusion about techniques used by taking into consideration analytical and approximate solutions obtained in this study.