DİFERENSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL TEORİSİNDE KARARLILIK PROBLEMLERİ

Abstract

Bu tez çalışması diferansiyel operatörlerin kararlılık teorisine önemli katkılar sağlayacaktır. Bu çalışmada ele alınan problemler için sonlu sayıda özdeğerler çakıştığında spektral fonksiyonlar ve özfonksiyonlar farkı için sonlu sınırlar elde edilmesi amaçlanmıştır. Kullandığımız yöntem ilk olarak T.I. Ryabushko tarafından [60] regüler Sturm-Liouville probleminin kararlılığını göstermek için uygulanmıştır. Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde regüler ve singüler Sturm-Liouville operatörü, Dirac ve Difüzyon operatörlerinin spektral teorisinin (ters ve düz problemler) tarihçesi verilmiştir. İkinci bölümde, diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde diferansiyel operatörler için dönüşüm operatörünün önemli uygulamaları verilmiştir. T.I. Ryabushko tarafından verilen yöntem bu tez çalışmasının orjinal bölümleri olan dördüncü, beşinci ve altıncı bölümlerde farklı denklemlere uygulanmış olup sırasıyla bu bölümler aşağıda açıklanmıştır. Dördüncü bölümde Dirac operatörü için kararlılık problemi tanımlanıp, iki spektruma göre normlaştırıcı sayılarının formülü verilerek kararlılık teoremleri ispatlanmıştır. Beşinci bölümde Bessel tipli singülerliğe sahip Sturm-Liouville operatörleri için Dirichlet sınır şartlarına sahip problem ele alınmıştır. Bu problem için iki spektruma göre kararlılık teoremleri verilmiştir. Altıncı bölümde ise ayrık sınır şartlarına sahip Difüzyon denklemi incelenmiştir. Bu problemin normlaştırıcı sayılarının iki spektruma göre ifadesi verilip, kararlılık teoremleri ispatlanmıştır. Yedinci bölümde ise tez çalışmasının sonuçları değerlendirilmiştir.This thesis will provide important contributions to the theory of the stability of differential operators. For the problems considered in this thesis, when the eigenvalues coincide the finite numbers, it is aimed to obtain the finite bounds for the difference between the spectral functions and eigenfunctions. The method which used was applied firstly by T.I. Ryabushko [60] to demonstrate the stability of regular Sturm-Liouville problems. This thesis consists of seven chapters. In the first chapter, the history of the spectral theory of regular and singular Sturm-Liouville operator, Dirac and Diffusion operators is given. In the second chapter, some basic definations and theorems which are frequently used in spectral theory of differential operators are given. In the third chapter, important applications of the transformation operator for the differential operators are given. This method was applied in the fourth, fifth and sixth sections which are the original parts. Following results were obtained respectively. In the fourth chapter the problem of stability for Dirac operators is defined and the formula explaining the norming constants respect to two spectra is given. The stability theorems have been proved. In the fifth chapter the problem for Sturm-Liouville operators with Bessel type singularity with Dirichlet boundary conditions have been considered. The stability theorem according to two spectra is given for this problem. In the sixth chapter, Diffusion equation with discrete boundary conditions is considered. The formula explaining the norming constants of this problem respect to two spectra is given. The stability theorems have been proved. In the seventh chapter the results of the thesis are evaluated.