İKİ SPEKTRUMA GÖRE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜNÜN TANIMLANMASI

Abstract

Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde literatür taraması yapılmış ve çalıştığımız konuların başlangıcı ve tarihsel gelişimi incelenmiştir. İkinci bölümde diferensiyel operatörlerin spektral teorisinde sık kullanılan temel tanım ve bazı teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde klasik Sturm-Liouville denklemi ve bu denklemin özfonksiyonlara göre seriye açılımı verilmiş, ayrıca klasik Fourier integrali incelenmiştir. Dördüncü bölümde Fourier-Bessel seri açılımı ve Fourier-Hankel integral açılımı verilmiştir. Beşinci bölümde Legendre polinomları tanımlanmıştır. Bu polinom fonksiyonların ortogonalliği gösterilip özdeğer ve normalleştirici özfonksiyonları incelenmiştir. Altıncı bölümde Sturm-Liouville operatörü ve lineer sönümlü dalga denklemi (difüzyon operatörü) için iz formülü hesaplanmıştır. Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville problemi, özdeğer, özfonksiyon, Legendre fonsiyonları, Bessel fonksiyonları, iz formülleri.

This thesis consists of six chapters. In the first chapter, historical development and literature review of subjects are examined. In the second chapter; some fundamental definitions and theorems often used in theory of spectral of differential operators are given. In the third chapter; classic Sturm-Liouville equation , this equation of serial expansion respect to eigenfunctions are gived , and classical Fourier Integral is studied. In the fourth chapter; Fourier-Bessel serial expansions, Fourier-Hankel Integral expansions are given. In the fifth chapter; Legendre Polynomials are defined, the ortogonality of them are showed, eigenvalue and normalization eigenfunction of them are found. In the six chapter; Trace formulas are obtained for Sturm-Liouville operators and for linear damped wave equatıon. Key words: Sturm-Liouville problem, eigenvalue, eigenfunction, Legendre functions, Bessel functions, trace formulas.