SPECTRAL PROPERTIES OF SOME DIFFERENTIAL OPERATORS ON TIME SCALES

Abstract

Bu tezde, zaman skalası üzerinde farklı tip operatörlerin baz¬ temel özelliklerini elde etmeye çalıstık. Tez, 6 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, zaman skalası teorisinin tarihsel gelişimi verildi. Ikinci bölümde, zaman skalası teorisinin bazı temel özellikleri, bazı kavram ve teoremleri açıklandı. Daha sonra üçüncü bölümde, klasik spektral teorideki birinci ve ikinci kanonik formlar zaman skalasında verildi. Dirac sisteminin fiziksel anlamı ifade edildi. Böylece, zaman skalas¬ üzerinde Dirac sisteminin birinci ve ikinci kanonik formu için bazı önemli özellikler verildi. Buna ilaveten, Dirac sisteminin birinci ve ikinci kanonik formuna ait öz fonksiyonların asimptotik ifadeleri elde edildi. Dördüncü bölümde, zaman skalası üzerinde impulsive difüzyon denklemi çalışıldı. Temel sonuçları ifade etmeden önce, impulsive difüzyone denkleminin spektral teorideki özellikleri ve fiziksel anlamı verildi. Daha sonra, impulsive difüzyon denkleminin bazı temel özellikleri keyfi zaman skalasına genelleştirildi. Zaman skalası üzerinde impulsive difüzyon denkleminin öz fonksiyonlarının asimptotik ifadesi oluşturuldu. Son olarak, beşinci bölümde bessel denklemi zaman skalası üzerinde ele alındı. Fiziksel özellikleri tanımlandı. Daha sonra zaman skalası üzerinde bu denklemin tüm temel özellikleri ifade edildi. Buna ilaveten, Bessel denkleminin öz fonksiyonlarına ait asimptotik ifadeler zaman skalası üzerinde verildi. Altıncı bölümde, tez ile ilgili bazı temel sonuçlar verildi.

In this thesis, we try to get some basic features of di¤erent types of operators on time scale. This thesis includes six chapters. In chapter 1, historical improvement of time scale theory is given. In chapter 2, some fundamental properties, some notions and theorems of time scale calculus are explained. Then, first and second canonic forms of Dirac system in classical spectral theory are expressed on time scales in chapter 3. The physical meaning of Dirac system is stated. Therefore, some important properties of Dirac system are given on a time scale for the first and second canonic forms are given. Furthermore, the asymptotics estimate of the eigenfunction for the first and second canonic forms of Dirac system are found. In chapter 4, impulsive diffusion equation on time scales is studied. Before expressing the main results, the physical meaning of impulsive di¤usion equation and some properties of this equation in spectral theory are given. Then, the basic properties of impulsive diffusion equation are generalized to an arbitrary time scale. And, asymptotic estimate of the eigenfunction for impulsive di¤usion equation on a time scale is constructed. Eventually, Bessel equation on time scale is considered in chapter 5. Its physical properties are defned. Then, its basic properties are expressed on time scale. Moreover, the asymptotic estimate of the eigenfunction for Bessel equation is given. In chapter 6, some fundamental conclusions about thesis are given.