Yeni olasılık dağılımları özellikleri ve uygulamaları

Abstract

Olasılık dağılımları, istatistiksel modelleme, güvenilirlik teorisi, yaşam süresi analizi, biyomedikal çalışmalar ve mühendislik uygulamalarında önemli bir yere sahiptir. Gerçek yaşam verilerinin çoğu zaman çarpık, ağır kuyruklu ve farklı hazard oranı davranışları sergileyen yapılar içermesi, klasik dağılımların yetersiz kalmasına neden olmaktadır. Bu nedenle son yıllarda daha esnek ve geniş uygulama alanına sahip yeni dağılım ailelerinin geliştirilmesine yönelik çalışmalar önemli ölçüde artmıştır. Bu tez çalışmasında, klasik Garima dağılımının esnekliğini artırmak amacıyla yeni parametrik dağılım modelleri önerilmiş ve bu modellerin teorik ile uygulamalı özellikleri ayrıntılı biçimde incelenmiştir. Çalışma kapsamında özellikle Topp-Leone Güç Garima (TLPG) dağılımı ile Yeni Lomax-Garima (NL-G) dağılımı geliştirilmiştir. Amaç, farklı hazard oranı davranışlarını modelleyebilen, güvenilirlik ve yaşam süresi analizlerinde daha başarılı sonuçlar veren esnek dağılım yapıları elde etmektir. İlk olarak önerilen dağılımların kümülatif dağılım fonksiyonları ve olasılık yoğunluk fonksiyonları matematiksel olarak türetilmiştir. Daha sonra yoğunluk fonksiyonlarının geçerli birer olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğu gösterilmiş ve bu kapsamda pozitiflik koşulu ile toplam integralin bire eşitliği analitik olarak ispatlanmıştır. Ayrıca dağılımların sağkalım fonksiyonları, hazard rate fonksiyonları, kantil fonksiyonları, seri açılımları, moment yapıları ve sıra istatistikleri elde edilmiştir. Kantil fonksiyonlarının Lambert-W dönüşümü yardımıyla kapalı formda ifade edilmesi sayesinde rassal sayı üretimi gerçekleştirilmiş ve Monte Carlo simülasyon çalışmaları için gerekli teorik altyapı oluşturulmuştur. Dağılımların grafiksel özelliklerini incelemek amacıyla farklı parametre değerleri altında olasılık yoğunluk fonksiyonu, kümülatif dağılım fonksiyonu ve üç boyutlu yoğunluk grafikleri elde edilmiştir. Grafiksel incelemeler sonucunda önerilen modellerin oldukça esnek davranışlar sergilediği belirlenmiştir. Özellikle parametre değişimlerinin yoğunluk yapısı, çarpıklık, kuyruk davranışı ve yayılım üzerinde önemli etkiler oluşturduğu gözlenmiştir. Ayrıca hazard oranı fonksiyonlarının parametre değerlerine bağlı olarak artan, azalan, küvet tipi ve ters küvet tipi davranışlar sergileyebildiği görülmüştür. Bu sonuçlar önerilen modellerin güvenilirlik teorisi ve yaşam süresi analizleri açısından güçlü bir esnekliğe sahip olduğunu gösterilmiştir. Çalışmanın önemli bölümlerinden biri parametre tahmini aşamasıdır. Bu kapsamda maksimum olabilirlik tahmini (MLE), Bayes tahmini, en küçük kareler tahmini (LSE), ağırlıklı en küçük kareler tahmini (OLSE/WLS), Anderson-Darling tahmini (ADE) ve Cramér-von Mises (CVM) yöntemleri ele alınmıştır. Her yöntem için amaç fonksiyonları oluşturulmuş ve tahmin süreçleri ayrıntılı biçimde açıklanmıştır. Bayes yaklaşımında gamma önsel dağılımları kullanılmış ve sonsal tahminler MCMC tabanlı yöntemlerle değerlendirilmiştir. Çalışma kapsamında Monte Carlo simülasyon çalışmaları gerçekleştirilmiştir. Farklı örneklem büyüklükleri altında tahmin yöntemlerinin performansları Bias, göreli hata ve hata kareler ortalaması (MSE) kriterleri yardımıyla incelenmiştir. Simülasyon sonuçları, örneklem büyüklüğü arttıkça tüm yöntemlerde hata ölçütlerinin azaldığını ve tahmin edicilerin asimptotik olarak tutarlı davrandığını göstermiştir. Ayrıca maksimum olabilirlik yönteminin büyük örneklemlerde oldukça başarılı sonuçlar verdiği, Bayes yaklaşımının ise küçük örneklemlerde daha kararlı tahminler sağlayabildiği belirlenmiştir. Önerilen dağılımlar gerçek veri setleri üzerinde uygulanmış ve klasik Garima ile Güç Garima dağılımlarıyla karşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçlar, önerilen modellerin daha yüksek log-olabilirlik değerleri ve daha düşük AIC, BIC, HQIC ve CAIC bilgi kriterleri verdiğini göstermiştir. Ayrıca Kolmogorov-Smirnov ve Anderson-Darling uyum iyiliği testlerinden elde edilen sonuçlar ile Q-Q ve P-P grafikleri, önerilen modellerin veriyle oldukça iyi uyum sağladığını ortaya konulmuştur. Bu çalışmada önerilen TLPG ve NL-G dağılımları hem teorik hem de uygulamalı açıdan güçlü, esnek ve başarılı modeller olduğu gözlemlenmiştir. Elde edilen sonuçlar, önerilen dağılımların güvenilirlik teorisi, yaşam süresi analizi, biyomedikal uygulamalar ve mühendislik alanlarında etkin biçimde kullanılabileceğini göstermektedir.

Probability distributions play an important role in statistical modeling, reliability theory, survival analysis, biomedical studies, and engineering applications. Since real-life data often exhibit skewness, heavy tails, and various hazard rate behaviors, classical probability distributions may be inadequate for modeling such complex structures. Therefore, the development of more flexible and adaptable probability distribution families has attracted considerable attention in recent years. In this thesis, new parametric distribution models are proposed in order to increase the flexibility of the classical Garima distribution, and their theoretical and applied properties are investigated in detail. In particular, the Topp-Leone Power Garima (TLPG) distribution and the New Lomax-Garima (NL-G) distribution are introduced and studied. The main objective is to construct flexible statistical models capable of representing different hazard rate behaviors and providing improved performance in reliability and lifetime data analysis. First, the cumulative distribution functions (CDFs) and probability density functions (PDFs) of the proposed distributions are mathematically derived. Then, it is proven that the obtained density functions satisfy the conditions of valid probability density functions by showing positivity and that the integral over the support equals one. Furthermore, the survival functions, hazard rate functions, quantile functions, series expansions, moment structures, and order statistics of the proposed distributions are obtained. By expressing the quantile functions in terms of the Lambert-W transformation, random number generation procedures are developed, providing the theoretical basis for Monte Carlo simulation studies. To examine the graphical behavior of the proposed models, the PDF, CDF, and three-dimensional density plots are obtained under different parameter values. The graphical investigations indicate that the proposed distributions possess highly flexible shapes. In particular, parameter variations significantly affect skewness, tail behavior, spread, and the overall shape of the density function. Moreover, the hazard rate functions are shown to exhibit increasing, decreasing, bathtub-shaped, and upside-down bathtub-shaped behaviors depending on the parameter values. These findings demonstrate that the proposed models provide substantial flexibility for reliability and survival analysis applications. An important part of the thesis concerns parameter estimation methods. In this context, maximum likelihood estimation (MLE), Bayesian estimation, least squares estimation (LSE), ordinary weighted least squares estimation (OLSE/WLS), Anderson-Darling estimation (ADE), and Cramér-von Mises (CVM) estimation methods are considered. Objective functions corresponding to each estimation method are derived, and the estimation procedures are discussed in detail. In the Bayesian framework, gamma prior distributions are assumed, and posterior inference is carried out using MCMC-based approaches. Monte Carlo simulation studies are conducted to evaluate the performance of the estimation methods under different sample sizes. The performances of the estimators are assessed using Bias, relative error, and mean squared error (MSE) criteria. The simulation results reveal that the error measures decrease as the sample size increases, indicating the asymptotic consistency of the estimators. In addition, the maximum likelihood method performs very effectively for large sample sizes, while Bayesian estimation provides more stable results for smaller samples. Finally, the proposed distributions are applied to real data sets and compared with the classical Garima and Power Garima distributions. The results demonstrate that the proposed models yield higher log-likelihood values and lower information criteria such as AIC, BIC, HQIC, and CAIC. Furthermore, the Kolmogorov-Smirnov and Anderson-Darling goodness-of-fit tests, together with Q-Q and P-P plots, indicate that the proposed distributions provide excellent fits to the observed data. Overall, the proposed TLPG and NL-G distributions are shown to be flexible, robust, and effective models from both theoretical and practical perspectives. The obtained results suggest that these distributions can be successfully applied in reliability theory, survival analysis, biomedical sciences, and engineering applications.