GENİŞLETİLMİŞ DİREKT CEBİRSEL METOT İLE BAZI LİNEER OLMAYAN SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN ANALİTİK ÇÖZÜMLERİNİN BULUNMASI

Abstract

Uygulamalı matematik alanında lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler hem teorik hem de uygulama alanlarından dolayı çok önemli bir yere sahiptir. Bu denli öneme sahip olan lineer olmayan yapıların çözümleri üzerine birçok metot geliştirilmiştir. Güncel bir yöntem olan genişletilmiş direkt cebirsel metot lineer olmayan diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerini elde etmek için oldukça etkili bir yöntemdir. Bu amaçla tasarladığımız tezimiz de; birinci bölümde, lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin çözümlerinde oluşan ve tezimizin temel kavramlarından biri olan Soliton kavramından bahsedilmiştir. Bu konu üzerine yapılan çalışmalar üzerine genel bir bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, genişletilmiş direkt cebirsel metot da kullanacağımız genelleştirilmiş hiperbolik fonksiyonların tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde kullanacağımız genişletilmiş direkt cebirsel metodun genel yapısı ve denklemlere uygulanışı hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü bölümde, genişletilmiş lineer olmayan Schrödinger denkleminin analitik çözümleri ele alınan yöntem ile elde edilmiştir. Son olarak da elde edilen sonuçlar ile genel bir değerlendirme yapılmıştır.

In the field of applied mathematics, nonlinear partial differential equations have a very important place due to their theoretical and practical applications. Many methods have been developed to solve nonlinear structures that are of such importance. The extended direct algebraic method, which is a current method, is a very effective method to obtain analytical solutions of nonlinear differential equations. Our thesis designed for this purpose is; In the first chapter, the concept of Soliton, which occurs in the solutions of non-linear partial differential equations and is one of the basic concepts of our thesis, is mentioned. A general information is given on the studies carried out on this subject. In the second part, the definitions of the generalized hyperbolic functions that we will use in the extended direct algebraic method are given. In the third section, information is given about the general structure of the extended direct algebraic method that we will use and its application to equations. In the fourth chapter, analytical solutions of the extended nonlinear Schrödinger equation are obtained by the discussed method. Finally, a general evaluation was made with the results obtained.