ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN UYGULAMALARI

Abstract

Laplace dönüşümü lineer diferensiyel denklemlerin ve denklem sistemlerinin çözümü için oldukça önemlidir. Klasik anlamda bu kadar önemli olan bir dönüşüm bu çalışmada zaman skalasına genelleştirilmiştir. Daha sonra aynı şekilde kuantum fiziğinde çok önemli olan Dirac dinamik denklem sistemi zaman skalası üzerinde Laplace dönüşümü ile çözülmüştür. Çalışmanın ilk bölümünde Laplace dönüşümü ve ters Laplace dönüşümü bilinen durumda tanımlandıktan sonra, kuralları detaylı bir şekilde verilerek sistemlere uygulaması açıklanmıştır. Daha sonra, zaman skalası kavramı açıklanmış, zaman skalasında türev, integral ve genelleştirilmiş integral gibi önemli kavramlar verilmiştir. Son olarak, zaman skalası üzerinde Laplace dönüşümü verilerek, dinamik sistemlere nasıl uygulandığı açıklanmış ve Dirac dinamik denklem sistemini içeren başlangıç değer problemleri bu dönüşüm kullanılarak zaman skalası üzerinde çözülmüştür. Laplace dönüşümünde önemli bir kavram olan konvolüsyon kavramı hem klasik durumda hem de zaman skalasında açıklanmıştır. Bazı durumlar için Laplace dönüşümü kullanılarak Dirac dinamik denklem sisteminin farklı versiyonları çözülmüştür.

The Laplace transform is very important for the solution of linear differential equations and systems of equations. A transformation that is so important in the classical sense is generalized to the time scale in this study. Later, Dirac dynamic equation system, which is also very important in quantum physics, was solved by Laplace transform on time scale. After defining Laplace transform and inverse Laplace transform in the first part of the study, its rules are given in detail and its application to the systems is explained in detail. Then, the concept of time scale is explained and important concepts such as derivative, integral and generalized integral are given in the time scale. Finally, Laplace transform is given on the time scale, how it is applied to dynamic systems and initial value problems including the Dirac dynamic equation system are solved on the time scale using this transformation. The concept of convolution, which is an important concept in the Laplace transformation, has been explained both in the classical case and on the time scale. For some cases, different versions of Dirac's dynamic equation system are solved using Laplace transform.