ON FRACTIONAL AND CLASSICAL NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS: THEORY AND APPLICATIONS

Abstract

Bu tez, bazı kesirli ve klasik diferansiyel denklemlerin teori ve uygulamaları hakkında kapsamlı bir analiz sunmaktadır. Bir çok lokal olmayan kesirli türevler ve lokal türevler, tamsayı ve kesirli mertebeden diferansiyel denklemleri incelemek için uygulanmıştır. Lokal olmayan kesirli türevler Riemann-Liouville (RL), Caputo ve Atangana-Baleanu (AB) türevlerini içerirken, lokal olanlar conformable (CD), beta (BD) türevlerini içermektedir. Ayrıca, simetri ve koruma kanunları (Cls), diferansiyel denklem sistemlerinin özelliklerini, integrallenebilirliğini, varlığını ve tekliğini belirlemede önemli bir rol oynamaktadır. Bundan dolayı, simetriler, lineer olmayan kendine eşlilik kavramı ile Cls hem klasik hem de kesirli diferansiyel denklemler için araştırılmıştır. Buna ilaveten; tez, diferansiyel denklemleri analitik ve sayısal açıdan inceleyip, bir çok hareketli dalga çözümleri, soliton çözümleri ve optik soliton çözümleri ortaya çıkarmıştır. Sayısal simülasyon, elde edilen analitik ve sayısal çözümlere daha fazla ışık tutmak için gerçekleştirilmiştir.

This thesis offers some classical and fractional partial differential equations (PDEs) with an extensive study of theory and applications. In order to investigate the integer and non-integer order differential equations (FDEs), several non-local fractional derivatives and local derivatives are applied. Riemann-Liouville (RL), Caputo and Atangana-Baleanu are non-local fractional derivatives whereas local derivatives are conformable (CD), and beta (BD) derivatives. In addition, symmetries and conservation regulations (Cls) play a significant role in determining the inner characteristics, integrability, presence, and uniqueness of differential equation systems. Because of this, the symmetries are investigated for both the classical and fractional differential equations; Cls through the concept of nonlinear self-adjoint (NSA) are also obtained. Moreover, from the perspective of analytical and numerical aspects, the thesis investigates the governing differential equations thus extracting several SW solutions and soliton solutions. To give an invigoration to the analytical and numerical alternatives acquired, numerical simulations are performed.