KESİRLİ ANALİZİN DİFERANSİYEL GEOMETRİYE UYGULAMALARI

Abstract

Diferansiyel geometri teorilerinde kesirli analiz tekniklerinin kullanılması özellikle son on yıl içerisinde oldukça ilgi gören bir çalışma alanı olmuştur. Bu yüksek lisans tezinin amacı da diferansiyel geometrik yüzeylerin özelliklerini Caputo kesirli türev yardımıyla incelemektir. Bu tez kapsamında ilk olarak kesirli mertebeden basit yüzey kavramı ortaya atılmıştır. Bu kavram üzerinden kesirli mertebeden basit yüzeyler kesirli mertebeden ikinci temel formları cinsinden karakterize edilmiştir. Açık bir şekilde kesirli mertebeden ikinci temel form katsayıları özdeş olarak sıfır olan kesirli mertebeden bir basit yüzeyin geometrik olarak bir düzlem temsil ettiği elde edilmiştir. Bu klasik sonuçla da örtüşmektedir. Daha sonra kesirli mertebeden geometrik niceliklerin Öklit uzayın hareketler grubu altında değişmez kaldığı gösterilmiştir. Diferansiyel geometrik yüzeylerin önemli bir sınıfını teşkil eden silindirik yüzeyler incelenmiştir. Bu yüzeylerin kesirli mertebeden bir parametrizasyonu tanımlanmış ve kesirli mertebeden flat olduğu elde edilmiştir. Ayrıca kesirli mertebeden minimal olması durumunda geometrik olarak bir düzlem belirttiği elde edilmiştir. Yine bu da klasik teori ile örtüşmektedir. Teoriler, örnekler ve şekillerle desteklenmiştir. Bu tezde kullanılan metodun ve elde edilen sonuçların artıları/eksileri ve literatüre sunduğu açık problemler son bölümde tartışılmıştır.

For the last decade, using the techinques of fractional calculus in the differential geometric theories has been an interesting field. The aim of this master thesis is to analysis the differential geometric surfaces via Caputo fractional derivative. As a first step, in the context of this thesis, the notion of local surface of fractional order is introduced. Following this notion, the local surfaces of fractional order are characterized by their second fundamental form of fractional order. Clearly, it is obtained that a local surface of fractional order is geometrically a part of plane when the components of second fundamental form of fractional order vanish identically. This coincides with the classical situation. Then we provide that the geometrical quantities of fractional are invariant under the Euclidean rigid motions. The cylindrical surfaces representing an important class of differential geometric surfaces are considered. A parametrization of those surfaces of fractional order is defined, obtaining that those surfaces are flat of fractional order. In addition, we obtain that a cylindrical surface is a part of plane if it is minimal of fractional order. This coincides with the classical situation again. The ideas of this thesis are supported by examples with figures. In the last section, we discuss pros and cons of the used method and obtained results as well as the proposed open problems