BAZI LİNEER OLMAYAN KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİNİN OPTİK VE DİĞER SOLİTON ÇÖZÜMLERİ İLE MODÜLASYON KARARLILIK ANALİZLERİ

Abstract

Bu tez çalışması beş bölüm olarak incelenmiştir. İlk bölümde, giriş kısmında genel olarak diferansiyel denklemler, dalga kavramı, soliton tanımı ve tarihçesi, optikal solitonlar ve çeşitleri, lineer olmayan Schrödinger denklemleri hakkında bilgiler ele alınmıştır. İkinci bölümde, temel tanımlar olarak adi ve kısmi diferansiyel denklemler, dengeleme terimi ve bazı lineer, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem türlerine yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, tezde kullandığımız metotlar: Genişletilmiş sine-Gordon metodu (GSGM), Birleşik (Unified) metot (BM), Nucci indirgeme metodu (NİM) ve Modülasyon kararlılık analizi (MKA) konuları detaylı bir şekilde incelenmiştir. Dördüncü bölümde ilk olarak; lineer olmayan (1+1) boyutlu dissipative lineer olmayan Schrödinger denkleminin analitik çözümleri GSGM ile elde edildi ve kararlılık analizi incelendi. İkinci olarak; Birleşik (Unified) metodu; lineer olmayan Schrödinger denklemi (LOSD), Lakshmanan-Porsezian-Daniel (LPDD) denklemi ve Sasa-Satsuma (SSD) denklemlerinden oluşmuş bir sisteme uyguladık. İncelenen modelin farklı tiplerde optikal solitonları elde edildi ve sonuçta MKA incelendi. Son olarak (3+1) boyutlu Vakhnenko-Parkes denklemi (VPD), Nucci indirgeme metodu ile çözülerek farklı soliton çözümlerine varıldı. Beşinci bölüm de; tezde elde edilen soliton, optikal soliton çözümleri ve kararlılık analizleri hakkında genel sonuçlar verildi. Bu tezde Mathematica, Maple ve Matlab programları hem hesaplama, hem de grafik çizimleri amaçlarıyla kullanılmıştır. Anahtar Kelimeler: Lineer olmayan diferansiyel denklemler, Solitonlar, Optikal soliton, Genişletilmiş sine-Gordon Metot, Birleşik Metot, Nucci indirgeme metodu, Analitik metotlar, Modülasyon kararlılık analizThis thesis consists of five chapters. In the first chapter, the introduction provides general information on differential equations, the concept of waves, the definition and history of solitons, optical solitons and their types, as well as nonlinear Schrödinger equations. In the second chapter, fundamental definitions are presented, including ordinary and partial differential equations, the balancing term, and several types of linear and nonlinear partial differential equations. In the third chapter, the methods used in this thesis are examined in detail, including the Extended Sine-Gordon Method (ESGM), the Unified Method (UM), the Nucci Reduction Method (NRM) and Modulation Stability Analysis (MSA).In the fourth chapter, firstly, the analytical solutions of the (1+1)dimensional dissipative nonlinear Schrödinger equation were obtained using the Generalized Simple Equation Method (GSGM), and the stability analysis of the solutions was investigated. Secondly, the Unified Method was applied to a system composed of the nonlinear Schrödinger equation (NLSE), the Lakshmanan–Porsezian–Daniel (LPD) equation and the Sasa–Satsuma (SS) equation. Various types of optical soliton solutions of the investigated model were obtained and the modulation instability (MI) was analyzed. Finally, the (3+1) dimensional Vakhnenko–Parkes (VP) equation was solved using the Nucci reduction method, leading to the discovery of different soliton solutions. In the fifth chapter, general conclusions regarding the soliton and optical soliton solutions, as well as the stability analyses obtained throughout the thesis were presented. In this study the software tools Mathematica, Maple, and MATLAB were utilized for both computational purposes and graphical visualizations. Keywords: Nonlinear differential equations, Solitons, Optical soliton, Extended sine-Gordon method, Unified method, Nucci reduction method, Analytical methods, Modulation stability analysis.