Rekürsif fark dizileri ve matrisleri ile kriptolojik uygulamaları

Abstract

Beş ana bölümden oluşan bu doktora tez çalışmasının ilk bölümü, kriptografi bilimine giriş niteliğinde olup, bu disiplinin temel kavramlarını açıklamaktadır. İlk olarak, veri gizliliğini ve güvenliğini sağlayan şifreleme teknikleri özetlenmektedir. Ardından, hem şifreleme hem de şifre çözme için aynı anahtarı kullanan simetrik şifreleme algoritmaları detaylandırılmaktadır. Daha sonra, şifreleme ve şifre çözme için açık ve özel anahtarların kullanıldığı asimetrik şifreleme algoritmaları tartışılmaktadır. İkinci bölümde, klasik anlamda matris, determinant kavramları ve bunların özellikleri verilmiştir. Ayrıca, kriptoloji alanında önemli bir yere sahip olan modüler aritmetik ve bu konuyla ilgili kurallar sunulmuştur. Diğer taraftan soyut cebirin grup, halka, cisim gibi temel yapıtaşları anlatılmaktadır. Buna ek olarak, tamsayılar ve modüler aritmetik kullanılarak elde edilen sonlu cisim ve özellikleri verilmiştir. Ayrıca, sonlu cisimler üzerinden tanımlanan polinom işlemleri sunulmuştur. Diğer taraftan, companion matrisleri ve bunların polinom kavramıyla ilişkisiden bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, Fibonacci ve Lucas sayılarının nasıl geliştirildiğine dair bilgiler verilmektedir. Ayrıca Fibonacci dizilerinin doğadaki izdüşümlerine dair ilginç modellerden bahsedilmektedir. Diğer taraftan Fibonacci ve Lucas dizilerinin formülleri ve özelliklerine yer verilmektedir. Bunlara ek olarak, Fibonacci ve Lucas matrislerinin tanımları ve bunlarla ilgili teoremler sunulmuştur. Son olarak Fibonacci ve Lucas polinom dizileri ve bunların matris formları anlatılmaktadır. Ayrıca fark dizileri, bu kavramla ilgili tanım ve teoremlere yer verilmektedir. Dördüncü bölüm, tez çalışmasının özgün sonuçlarının sunulmaya başlandığı bölüm niteliğindedir. Bu bölümde, rekürsif fark dizisi ve rekürsif fark matrisleri tanımlanmış; bu kavramlara ilişkin örnekler, teoremler ve bunların Fibonacci ve Lucas dizileri ile Fibonacci matrisiyle bağlantıları verilmiştir. Son olarak, rekürsif fark matrisleri ve yardımcı cebirsel yapılar kullanılarak deneysel amaçlı iki asimetrik şifreleme sistemi önerilmiş ve bu sistemlere ilişkin analizler yapılmıştır. Beşinci bölümde, tezin özgün sonuçları rekürsif fark polinom dizileri ve rekürsif fark polinom matrisleri üzerinden genişletilmiştir. Bu kapsamda, ilgili diziler ve matrisler tanımlanmış; bunlara ilişkin bazı teoremler ile rekürsif fark polinom matrisinin Fibonacci Q-matrisiyle ilişkileri verilmiştir. Son olarak, bu yapılar ve yardımcı cebirsel araçlar kullanılarak deneysel amaçlı bir asimetrik şifreleme sistemi üretilmiş ve sistemin güvenlik analizi sunulmuştur.

The first part of this doctoral dissertation, which consists of five main sections, serves as an introduction to cryptography, explaining the fundamental concepts of this discipline. First, encryption techniques that ensure data confidentiality and security are summarized. Then, symmetric encryption algorithms, which use the same key for both encryption and decryption, are detailed. Finally, asymmetric encryption algorithms, which use both public and private keys for encryption and decryption, are discussed. The second section introduces the classical concepts of matrices and determinants, along with their properties. It also presents modular arithmetic and related rules, which hold significant importance in cryptography. Furthermore, the fundamental building blocks of abstract algebra, such as groups, rings, and fields, are explained. In addition, finite fields and their properties, obtained using integers and modular arithmetic, are discussed. Polynomial operations defined over finite fields are presented. Companion matrices and their relationship to the concept of polynomials are also discussed. The third chapter provides information on how Fibonacci and Lucas numbers were developed. It also discusses interesting models of the natural projections of Fibonacci sequences. Furthermore, the formulas and properties of Fibonacci and Lucas sequences are presented. In addition, the definitions of Fibonacci and Lucas matrices and related theorems are offered. Finally, Fibonacci and Lucas polynomial sequences and their matrix forms are explained. Difference sequences, along with definitions and theorems related to this concept, are also included. The fourth chapter is where the original results of the thesis are presented. In this chapter, recursive difference sequences and recursive difference matrices are defined; examples, theorems, and their connections to Fibonacci and Lucas sequences and the Fibonacci matrix are given. Finally, two experimental asymmetric encryption systems are proposed using recursive difference matrices and auxiliary algebraic structures, and analyses of these systems are performed. In the fifth chapter, the original results of the thesis are extended through recursive difference polynomial sequences and recursive difference polynomial matrices. In this context, the relevant sequences and matrices are defined; some theorems related to them are presented, along with the relationships between the recursive difference polynomial matrix and the Fibonacci Q-matrix. Finally, using these structures and auxiliary algebraic tools, an experimental asymmetric encryption system is generated, and a security analysis of the system is presented.