BAZI DIFERANSIYEL DENKLEMLERIN ÜRETICI ÇEKIRDEKLI HILBERT UZAYI METODU ILE SAYISAL ÇÖZÜMLERI

Abstract

Altı bölümden oluşan bu doktora tez çalışmasında adi ve kısmi türev içeren, doğrusal olmayan bazı diferansiyel denklemlerin Üretici Çekirdekli Hilbert Uzayı Metodu (ÜÇHM) ile yaklaşık çözümleri elde edildi. Öncelikle tezin ana konusunun daha iyi anlaşılabilmesi için bir giriş yapılıp, sonraki bölümlere bir altyapı oluşturması adına ikinci bölümde diferansiyel denklemler ile fonksiyonel analize dair bazı temel tanım ve teoremlere yer verildi. Üçüncü bölümde Üretici Çekirdekli Hilbert Uzayı Metodu'nun temel özellikleri anlatılıp, üretici çekirdek fonksiyonlarıyla, $V_2^m[a,b]$ ve $W_2^{(m,n)}(\Omega)$ üretici çekirdek uzaylarının teorik yapıları sunuldu. Adi türevli diferansiyel denklemlerin ÜÇHM ile çözümlerinin araştırıldığı, farklı aralıklarda homojen olmayan başlangıç ve sınır değer problemlerinin yaklaşık çözümlerine dördüncü bölümde yer verildi. Kısmi türevli denklemlerin ÜÇHM ile çözümleri beşinci bölümde incelendi ve Burgers, Fisher, Burgers-Fisher, Burgers-Huxley denklemlerinin yaklaşık çözümleri elde edildi. Çalışmada yer alan tüm problemler için her bir probleme ait Üretici Çekirdekli Uzayları inşa edilerek bu uzayların çekirdek fonksiyonları bulundu ve çözümlerin yakınsaklık analizleri yapıldı. Sonrasında nümerik sonuçlar sunularak, kesin çözüm, yaklaşık çözüm, mutlak-göreli hatalara dair tablo ve grafikler verildi. Son olarak, elde edilen sonuçlar değerlendirilerek, metodun geçerliliği ve güvenirliliği sonuçlar ve tartışma bölümünde yorumlandı.In this PhD thesis, which consists of six chapters, approximate solutions of nonlinear differential equations containing ordinary and partial derivatives were obtained using the Reproducing Kernel Hilbert Space Method. Firstly, some basic definitions and theorems about differential equations and functional analysis are given in order to better understand the main subject of the thesis and provide context for this research. The basics of Reproducing Kernel Hilbert Space Method is explained. The theoretical structures of the $V_2^m[a,b] $ and $W_2^{(m,n)}(\Omega)$ reproducing kernel spaces and reproducing kernels are presented in chapter three. In the fourth chapter, solutions to ordinary differential equations using RKHSM were investigated, and approximate solutions of inhomogeneous initial and boundary value problems in different intervals were obtained. By using RKHSM, the solutions of partial differential equations were examined in the fifth chapter and approximate solutions of Burgers, Fisher, Burgers-Fisher, Burgers-Huxley equations are obtained. For all the problems in the study, the reprorducing kernel Hilbert spaces were constructed for each problem, the kernel functions of these spaces were calculated, and convergence analyzes were performed. The numerical results are presented in the thesis. Tables and graphs of exact solutions, approximate solutions and absolute-relative errors are given. Finally, the validity and reliability of the Reproducing Kernel Hilbert Space Method is interpreted by evaluating the results obtained.