STURM-LİOUVİLLE FARK PROBLEMLERİ VE KESİRLİ ANALİZİ

Abstract

Altı bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümünde Sturm–Liouville teorisi, kesirli diferansiyel denklemler, nabla ve delta kesirli fark denklemlerinin gelişimi ve tarihçesi hakkında genel bilgiler verilmiş olup yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. İkinci bölümde, fark operatörleri, fark denklemleri ve çözüm yöntemleri verilmiştir. Ayrıca bunların kesirli versiyonları ele alınmış olup çözüm yöntemleriyle ilgili temel tanım ve teoremler sunulmuştur. Üçüncü bölümde, Sturm–Liouville fark denklemlerinin spektral özellikleri detaylı bir şekilde verilmiştir. Son üç bölüm tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Dördüncü bölümde, Sturm–Liouville fark denklemlerinin spektral özellikleri incelenmiş ve Sturm–Liouville fark probleminin çözümünün görüntüsü elde edilerek özfonksiyonlar için asimptotik formüller elde edilmiştir. Sonrasında özel potansiyelli ve Coulomb potansiyelli Sturm–Liouville fark problemleri için çözümün görüntüsü elde edilerek özfonksiyonlar için asimptotik formüller bulunmuştur. Bu sonuçların detaylı analizi şekil ve tablolarla karşılaştırmalı olarak gösterilmiştir. Beşinci bölümde, nabla kesirli Sturm–Liouville fark denklemleri ele alınmıştır. Nabla kesirli Sturm–Liouville fark operatörleri için spektral teoride önemli bir yere sahip olan selfadjointlik, özdeğerlerin reelliği, özfonksiyonların ortogonalliği gibi temel spektral özellikler ve ispatları verilmiştir. Daha sonraki adımda nabla kesirli Sturm–Liouville fark probleminin çözümünün görüntüsü bulunmuştur. Bu sonuçlar, tam mertebeli Sturm–Liouville fark problemleri, kesirli ve klasik Sturm–Liouville problemleri için şekil ve tablolar vasıtasıyla karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. Altıncı bölümde, delta kesirli Sturm–Liouville fark denklemleri ele alınmıştır. Spektral teoride önemli bir yere sahip olan self–adjointlik, özdeğerlerin reelliği, özfonksiyonların ortogonalliği gibi temel spektral özellikler ve ispatları delta Grünwald–Letnikov kesirli Sturm–Liouville fark operatörleri için verilmiştir. Daha sonraki adımda delta kesirli Sturm–Liouville fark probleminin çözümlerinin görüntüsü delta Caputo ve delta Riemann–Liouville kesirli fark operatörleriyle ayrı ayrı ele alınarak bulunmuştur. Bu sonuçlar, tam mertebeli Sturm–Liouville fark problemleri, kesirli Caputo, kesirli Riemann–Liouville ve klasik Sturm–Liouville problemleri için şekil ve tablolar vasıtasıyla karşılaştırmalı olarak incelenmiştir.

In the first part of this study which consists of six chapters, general information about Sturm–Liouville theory, development and history of fractional differential equations, nabla and delta fractional difference equations are given and background studies are expressed in brief. In the second chapter, difference operators, difference equations and solution methods are given. Furthermore, their fractional versions are considered and fundamental definitions and theorems related to solution methods are presented. In the third chapter, the spectral properties of Sturm–Liouville difference equations are given in detail. The last three chapters form the original part of the thesis. In the fourth chapter, the spectral properties of Sturm–Liouville difference equations are analyzed and asymptotic formulas are obtained for eigenfunctions by obtaining the representation of solutions of Sturm–Liouville difference problem. Thereafter, asymptotic formulas are obtained for eigenfunctions by obtaining the representations of solutions for Sturm–Liouville difference problems with special potential and Coulomb potential. Detailed analysis of these results is shown in comparison with figures and tables. In the fifth chapter, nabla fractional Sturm–Liouville difference equations are considered. Fundamental spectral properties like self–adjointness, reality of the eigenvalues, orthogonality of eigenfunctions, which have an important place in spectral theory, and proofs are given for nabla fractional Sturm–Liouville operators. In the next step, the representation of the solutions of nabla fractional Sturm–Liouville difference problems are obtained. These results are analyzed comparatively for integer order Sturm–Liouville difference problems, fractional and classical Sturm–Liouville problems by means of figures and tables. In the sixth chapter, delta fractional Sturm–Liouville difference equations are considered. Fundamental spectral properties like self–adjointness, reality of the eigenvalues, orthogonality of eigenfunctions, which have an important place in spectral theory, and proofs are given for delta Grünwald–Letnikov fractional Sturm–Liouville operators. In the next step, the representation of the solutions of delta fractional Sturm–Liouville difference problems are considered separately with delta Caputo and delta Riemann–Liouville operators are obtained. These results are analyzed comparatively for integer order Sturm–Liouville difference problems, fractional and classical Sturm–Liouville problems by means of figures and tables.