KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN SAYISAL YÖNTEMLER

Abstract

Kesirli diferansiyel denklemler, özellikle bellek ve kalıcılık özellikleri gösteren fiziksel ve mühendislik sistemlerinin modellenmesinde önemli bir rol oynamaktadır. Bu denklemler, klasik türev kavramının genelleştirilmiş bir hali olan kesirli türevlerle ifade edilir. Bu tezde, Caputo tanımına göre formüle edilen kesirli diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü ele alınmıştır. Bu çalışmada, bu tür denklemler için Euler yönteminin uygulanması ve etkinliğinin analizidir. Yöntemin doğruluğu, kararlılığı ve yakınsama özellikleri hem teorik olarak incelenmiş hem de çeşitli örnek problemler üzerinde desteklenmiştir. Elde edilen sonuçlar, Euler yönteminin belirli koşullar altında Caputo kesirli türevli sistemlerin çözümünde uygulanabilir ve yeterli doğrulukta sonuçlar verebileceğini göstermektedir. Bu tez, kesirli hesaplama alanında basit ve etkili sayısal çözümler sunmaktadır. Çoğu kesirli diferansiyel denklemin analitik çözümü elde edilememektedir. Bu nedenle çözüme yakın yaklaşım ve sayısal teknikler kullanılmaktadır. Bunlardan biri Euler yöntemidir. Bu çalışmanın amacı, birinci mertebeden adi ve kesirli diferansiyel denklemler için Euler yönteminin etkinliğini ve uygulanabilirliğini incelemektir.

Fractional differential equations play an important role in modeling physical and engineering systems that exhibit memory and persistence properties. These equations are expressed using fractional derivatives, which are a generalized form of the classical derivative concept. In this thesis, the numerical solution of fractional differential equations formulated according to the Caputo definition is addressed. This study focuses on the application of the Euler method for such equations and analyzes its effectiveness. The accuracy, stability, and convergence properties of the method have been examined both theoretically and supported by various example problems. The results obtained demonstrate that the Euler method, under certain conditions, can be applied to solve Caputo fractional derivative systems and provide results with sufficient accuracy. This thesis offers simple and effective numerical solutions in the field of fractional calculus. Most fractional differential equations do not have an analytical solution. Therefore, approximation techniques and numerical methods are used. One of these methods is the Euler method. The aim of this study is to investigate the effectiveness and applicability of the Euler method for first-order ordinary and fractional differential equations.