ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND TİPİNDE TÜREV İÇEREN BAZI PROBLEMLER

Abstract

Klasik manada Sturm-Liouville denklemi matematiksel fiziğin en önemli denklemlerinden birisidir. Başlangçta, ısı iletimi problemlerinde yoğun olarak uygulanan Sturm-Liouville teorisi, günümüzde farklı fiziksel problemlere de uygulanmaktadır. Matematiksel fiziğin ihtiyacı gereği klasik Sturm-Liouville probleminde farklI genelleştirmeler yapılmıs ve buna bağlı olarak lineer diferensiyel operatörler teorisi oluşturulmuştur. Bu çalışmada ise bu denklem bir zaman skalasında ele alınarak, diamond alfa tipinde Sturm-Liouville problemi tanımlanmıştır. Bu probleme ait özdeğerlerin basitliği, reelliği, farklı özdeğerlere karşılık gelen öz fonksiyonların ortogonalliği, alfa tipinde Lagrange eşitliği ve Green formülü verilmiştir. Ayrıca ele alınan problemin öz fonksiyonları için bir eşitlik bulunmuştur. Diamond alfa tipinde türev ve integral zaman skalasının işlem yapma açısından en sıkıntılı operatörleridir. Bunun nedeni diamond alfa tipinde türev ve integralin delta ve nabla türev ve integralinin kombinasyonu olmasıdır. Bu açıdan elde edilen öz fonksiyon oldukça önemlidir.

In classical terms, the Sturm-Liouville equation is one of the most important equations of mathematical physics. Initially, the Sturm-Liouville theory, applied extensively in heat conduction problems, is now applied in di¤erent physical problems. Different generalizations have been made in the classical Sturm-Liouville problem due to the need of mathematical physics and accordingly linear differential operators theory has been formed. In this study, this equation is considered on a time scale and the diamond alpha type Sturm-Liouville problem is defined. The simplicity of the eigenvalues of this problem, the real property, the orthogonality of the eigenvalues corresponding to the di¤erent eigenvalues, and the Lagrange equality and Green formula in the alpha type are given. In addition, an equality was found for the eigenfunctions of the problem. Diamond alpha-type derivative and integral on time scales are the most trouble operators in terms of processing. This is because the derivative and integral of diamond alpha type is a combination of delta and nabla derivative and integral.In this respect, obtained eigenfunction is very important.