KESİRLİ TÜREVİN EĞRİLERİN AFİN DİFERANSİYEL GEOMETRİSİNE UYGULAMALARI

Abstract

Parametrik nesnelerin diferansiyel geometrisi üzerine yapılacak çalışmalar için zincir kuralı, yani bileşke fonksiyonların türev formülü, elzemdir. Bu gereklilik literatürde mevcut olan çeşitli kesirli türev operatörlerinin eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerine yapılacak çalışmalara uygulanmasında önemli bir engel teşkil etmektedir. Bu engeli aşmak için matematikçiler tarafından bileşke fonksiyonların Caputo kesirli türevine dair bir sadeleştirme formülü öne sürülmüştür. Bu sadeleştirme formülünü kullanan bir teknik sayesinde parametrik düzlem eğrilerin Öklitsel değişmezleri, yani Frenet eğriliği ve vektörleri çalışılmıştır. Bu teknik ile bir parametrik eğri için Frenet tipi yeni bir eğrilik tanımlanabilir, ancak yeni Frenet vektörleri elde edilememektedir. Bu başlı başına önemli bir katkı olmakla birlikte, kesirli türevin geometrik özelliklerinin daha iyi gözlemlenebilmesi için parametrik eğrilerin kesirli türev vektörlerinin klasik olanlardan farklı olması beklenir. Bu beklentiden esinlenerek, literatürde parametrik düzlem eğrilerin Caputo kesirli türev yardımıyla eş afin Frenet değişmezleri çalışılması fikri ortaya atılmıştır. Bunun sebebi bahsi geçen teknik ile Frenet tipi yeni eş afin eğrilik ve vektörlerin elde edilmesi ve dolayısıyla kesirli türevin daha iyi bir geometrik gözlemi yapılabilmesidir. Bu akımı takiben bu yüksek lisans tezinde parametrik uzay eğrilerin eş afin Frenet değişmezleri bahsi geçen teknik sayesinde yeniden analiz edilmiştir. Daha açık bir şekilde 3-boyutlu reel afin uzayda bir parametrik eğrinin yeni eş afin Frenet eğrilikleri ve vektörleri tanımlanmıştır. Klasik olanlarla arasındaki ilişkiler ortaya konulmuştur. Grafik ve şekillerle zenginleştirilerek çeşitli örnekler ifade edilmiştir. Ayrıca sonuç bölümünde bu tez içerisinde kullanılan teknik ile olası yeni araştırma problemi önerileri ifade edilmiştir.

Chain rule, the derivative formula of composite functions, is essential for the studies on differential geometry of parametric objects. This necessity poses an important obstacle for applying various fractional derivative operators existing in the literature to the studies on differential geometry of parametric curves. A simplification about the Caputo fractional derivative of composite functions was put forward by mathematicians to overcome this obstacle. Euclidean invariants of parametric plane curves, namely Frenet curvature and vectors, were considered through a technique using this simplification. Thanks to this technique, a new curvature of Frenet type could be defined, but it is not possible to introduce new vectors of Frenet type. Besides this is a remarkable contribution in itself, it is expected that the fractional derivative vectors of parametric curves are different from the classical ones in order to better observe geometric properties of fracitonal derivative. Inspired by this expectation the idea of studying equiaffine invariants of parametric plane curves via Caputo fractional derivative was put forward. This is because, by the mentioned technique, new equiaffine curvature and vectors of Frenet type could be obtained and hence a better geometric observation of fractional derivative could be presented. Following this strategy, in this thesis the equiaffine Frenet invariants of parametric space curves are re-analyzed via the technique. More clearly, new equiaffine Frenet curvatures and vectors are introduced. The relations between the new and classical invariants are provided. The examples are given by graphs and figures. Furthermore new perspectives and problems are expressed by the used technique in this thesis.