ZAMAN SKALASI VE ÇARPIMSAL ANALİZDE AMBARZUMYAN TEOREMLERİ

Abstract

Hem zaman skalası hem de çarpımsal analiz gibi Newtonian olmayan analizler bilim ve mühendislikte karşılaşılan matematiksel problemlere yeni bir bakış açısı sunmaktadır. Bu tez çalışmasında zaman skalası ve çarpımsal analizde limit, süreklilik, türev ve integral gibi temel kavramlar ortaya konulmuş ve bu kavramların temel özellikleri verilmiştir. Zaman skalası analizi ve çarpımsal analizde ifade edilen bu kavramların verilen özelliklerinden bazıları klasik analiz ile karşılaştırılmış ve örnekler verilmiştir. Zaman skalası ve çarpımsal analizde diferansiyel denklemler incelenmiştir. Klasik durumdaki belirsiz katsayılar yöntemi ve parametrelerin değişimi yöntemleri zaman skalası ve çarpımsal analizde tanımlanmış ve örnekler çözülmüştür. Düz ve ters problemlerin ne anlama geldiği Sturm-Liouville denklemi ve Dirac denklem sistemi üzerinden ifade edilmiştir. Ters öz değer problemlerinden kısaca bahsedildikten sonra, ters problemlerin ilk örneği olan Sturm-Liouville denklemi için Ambarzumyan teoreminin ispatı verilmiştir. Daha sonra Dirac denklem sistemi için klasik durumda Ambarzumyan teoremi verilmiştir. Tezin son kısmında zaman skalası ve çarpımsal analizde Ambarzumyan teoremi bu analizlerde yeniden tanımlanan Sturm-Liouville denklemi ve Dirac denklem sistemleri için ifade ve ispat edilmiştir.

Non-Newtonian analysis such as both time scale and multiplicative analysis offer a new perspective on mathematical problems encountered in science and engineering. In this thesis, basic concepts such as limit, continuity, derivative and integral on time scale and multiplicative analysis are introduced and the basic properties of these concepts are given. Some of the given features of these concepts, which are expressed on time scale and multiplicative analysis, are compared with classical analysis and examples are given. Differential equations are studied on time scale and multiplicative analysis. The method of uncertain coefficients and variation of parameters in classical case are defined on time scale and multiplicative analysis, and examples are solved. The meaning of direct and inverse problems is expressed through the Sturm-Liouville equation and Dirac equation system. After briefly mentioning the inverse eigenvalue problems, the Ambarzumian theorem and its proof are given for the Sturm-Liouville equation, which is the first example of the inverse problems. Then, this theorem is given for Dirac system. In the last part of the thesis, the Ambarzumyan theorem on time scale and multiplicative analysis is expressed and proven for the Sturm-Liouville equation and Dirac equation systems, which are redefined in these analysis.