KESİRLİ TÜREVLİ EĞRİLERİN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ

Abstract

Eğriler teorisi diferensiyel geometri alanında uzunca bir süredir ilgi çekici bir çalışma alanı olmuştur, ancak son zamanlarda bu teoride kesirli türev tekniklerini kullanmak birçok araştırmaya yeni bir bakış açısı kazandırmıştır. Bu doktora tezinin amacı ise diferensiyel geometride eğrilerin temel özelliklerini Caputo kesirli türevi yardımıyla incelemektir. Bu doktora tezi kapsamında ilk olarak Öklid uzayında düzlem eğrilerinin yay uzunluğu, Frenet-Serret çatısı ve Frenet –Serret formülleri incelenmiş ve bu düzlem eğrisinin kesirli eğrilikleri detaylıca verilmiştir. Daha sonra 3-boyutlu Öklid uzayında kesirli mertebeden uzay eğrilerinin temel teoremleri ve Frenet-Serret formülleri ele alınmıştır. Bu bölümde verilen sonuçlar klasik anlamda elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Son bölümde ise yüksek boyutlu Öklid uzaylarında eğrilerin kesirli değişmezleri elde edilip, bazı özel eğrilerin eğrilikleri arasındaki bağıntılar verilmiştir. Tez çalışması boyunca kullanılan metotla ilgili öneri, elde edilen sonuçların literatüre sunduğu katkı ve problemler son kısımda verilmiştir.

The theory of curves has been an interesting field of study in differential geometry for a long time, but recently using fractional derivative techniques in this theory has brought a new perspective to many studies. The aim of this doctoral thesis is to examine the basic properties of curves in differential geometry with the help of the Caputo fractional derivative. Within the scope of this doctoral thesis, firstly, the arc length of plane curves in Euclidean space, Frenet-Serret framework and Frenet-Serret formulas were examined and the fractional curvatures of this plane curve were given in detail. Then, the fundamental theorems of fractional space curves in 3-dimensional Euclidean space and the Frenet-Serret formulas are discussed. The results given in this section are compared with the results obtained in the classical sense. In the last chapter, fractional invariants of curves in high-dimensional Euclidean spaces are obtained and the relations between the curvatures of some special curves are given. The suggestions regarding the method used throughout the thesis, the contribution of the obtained results to the literature and the problems are given in the last part.