ÖZEL TİPTEN EĞRİLERİN DİFERANSİYEL GEOMETRİSİ

Abstract

Bu tez çalışmasında, AW(k)-tipinden eğrilerin 3-boyutlu Öklid ve 3-boyutlu Lorentz uzaylarında incelenmesi amaçlanmıştır. AW(k)-tipinden eğrilerin, Bertrand eğrileri ve helislerle olan yakın ilişkisi incelenmiştir. AW(k)-tipinden eğriler, eğrinin birinci ve ikinci eğrilikleri arasında bağlantılar içeren uzay eğrisidir. Çalışmamız 5 bölümden oluşmaktadır. İlk ve ikinci bölüm olan Giriş ve Temel Kavramlar bölümlerinde, eğriler, AW(k)-tipinden eğriler ve eğrilerle ilgili temel bilgilerden bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında ve 3-boyutlu Lorentz uzayında yapacağımız hesaplamalarda kullanacağımız temel tanımlar ve teoremlere yer verilmiş, Frenet çatısı, helis, slant helis, koniksel geodezik eğri, Bertrand eğrisi ve AW(k)-tipiden eğri tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında AW(k)-tipinden eğriler, zayıf AW(k)-tipinden eğriler, bu eğrilerin Bertrand eğrisi ve koniksel geodezik eğrilerle olan ilişkileri incelenmiş ve bunlarla ilgili olan teoremler ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, Lorentz uzayında bir Frenet eğrisinin harmonik eğrilikleri incelenmiştir. Ayrıca, 3-boyutlu Lorentz uzayında AW(k)-tipinden eğriler ifade ve ispat edilmiştir. Lorentz uzayında AW(k)-tipinden eğrilerin harmonik eğriler ile olan ilişkileri verilmiştir.

In this thesis, it is aimed to examine AW(k)-type curves in 3-dimensional Euclid and 3-dimensional Lorentz space. The close relationship between AW(k)-type curves and Bertrand curves and helices has been examined. AW(k)-type curves are a space curves that contain relations between the first and second curvatures of the curve. Our study consist of 5 parts. In the Introduction and Basic Consepts chapters, which are the first and second chapters, curves, AW(k)-type curves, basic knowledge of curves are mentioned. In the third chapter, the fundamental definitions and theorems that we will utilize in our calculations in 3-dimensional Euclid space and in 3-dimensional Lorentz space are given, Frenet frame, helix, slant helix, conical geodesic curve, Bertrand curve and AW(k)-type curve are introduced. In the fourth chapter, AW(k)-type curves in 3-dimensional Euclid space, weak AW(k)-type curves, the relations of these curves with Bertrand curve and conical geodesic curve are examined and theorems related to them have been proved. In the fifth chapter, harmonic curvatures of a Frenet curve are examined. Moreover, AW(k)-type curves in 3-dimensional Lorentz space are expressed and proved. In Lorentz space, the relations of AW(k)-type curves with harmonic curvatures are given.