ÜÇ BOYUTLU MİNKOWSKİ UZAYINDA REKTİFİYEN EĞRİ ÇİFTLERİ

Abstract

Rektifiyen eğri çiftleri, eğrinin uzaydaki yönelimiyle konum vektörü arasındaki ilişkiyi incelemeye olanak tanıyan özel eğrilerdir. Ayrıca uzaydaki eğrilerin yapısal özelliklerini analiz etmek, eğri çiftleri arasındaki geometrik bağları belirlemek ve farklı eğri türleriyle olan ilişkileri ortaya koymak açısından önemli bir araçtır. 3-boyutlu Minkowski uzayında space-like (uzay benzeri) rektifiyen eğriler ise Lorentz metrik yapısı altında bu ilişkilerin zamansal ve uzamsal ayrımlar çerçevesinde daha detaylı incelenmesini mümkün kılar. Bu çalışmada 3-boyutlu Minkowski uzayında rektifiyen eğri çiftlerinin tanımı, özellikleri ve geometrik ilişkilerin anlaşılmasındaki rolü ele alınmıştır. Bununla birlikte 3-boyutlu Minkowski uzayında space-like (uzay benzeri) rektifiyen eğri çiftlerinin temel özelliklerini incelemek ve Bertrand eğri çiftleriyle olan bağlantısını ortaya koyarak teorik bilgiyi derinleştirmek amaçlanmıştır. Bu kapsamda Minkowski uzayında belirli Frenet vektörlerinin doğrultusal bağıntıları altında hangi eğri çiftlerinin rektifiyen olabileceği hipotezi öne sürülmüştür. Yay uzunluğu parametresine göre tanımlanmış space-like eğri çiftleri kullanılmıştır. Yöntem olarak Frenet formülleri ve Lorentz iç çarpım ilişkileri aracılığıyla dokuz özel durum analiz edilmiştir. Elde edilen bulgular, yalnızca belirli alt durumların rektifiyenlik koşullarını sağladığını göstermektedir. Sonuç olarak Minkowski uzayında rektifiyen eğri çiftlerinin geometrik davranışları, klasik Öklid uzayındaki karşılıklarından farklı dinamikler sergilemekte olup bu çalışma Lorentz geometrisi kapsamında yeni sınıflandırmalar sunmaktadır.

Rectifying curve pairs are special curves that allow the examination of the relationship between the orientation of a curve in space and its position vector. They also serve as an important tool for analyzing the structural properties of curves in space, determining the geometric connections between curve pairs, and revealing their relations with different curve types. In 3-dimensional Minkowski space, space-like rectifying curves enable a more detailed investigation of these relationships within the framework of temporal and spatial distinctions under the Lorentzian metric structure. This study discusses the definition, properties, and role of rectifying curve pairs in understanding geometric relations in 3-dimensional Minkowski space. Furthermore, it aims to examine the fundamental properties of space-like rectifying curve pairs in Minkowski space and to deepen the theoretical framework by revealing their connection with Bertrand curve pairs. In this context, the hypothesis that certain curve pairs may be rectifying under the linear dependencies of specific Frenet vectors in Minkowski space is proposed. Space-like curve pairs defined with respect to arc-length parametrization were used. As a method, nine special cases were analyzed through Frenet formulas and Lorentz inner product relations. The findings indicate that only certain subcases satisfy the rectifying conditions. As a result, the geometric behavior of rectifying curve pairs in Minkowski space exhibits dynamics distinct from their Euclidean counterparts, and this study provides new classifications within the scope of Lorentzian geometry.