BAZI KESİRLİ LİNEER OLMAYAN KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN LİE SİMETRİ METODU YARDIMIYLA ÇÖZÜMÜ VE KORUNUM KANUNLARI

Abstract

Son zamanlarda mühendislik ve doğa bilimlerinde ortaya çıkan birçok kompleks problem lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler ile formüle edilmektedir. Bu denklemlerin davranış özelliklerini tespit etmek için analitik çözümlerin elde edilmesi önem kazanmıştır. 19. yüzyılın baslarında Sophus Lie'nin ortaya koyduğu ve daha sonra kendi adı ile anılan Lie simetri analizi yöntemi lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümüne yeni bir bakış açısı getirdi. Bu metodun temel amacı diferansiyel denklemleri değişmez bırakan benzerlik dönüşümlerinin elde edilmesidir. Bu benzerlik dönüşümleri kesirli kısmi diferansiyel denklemleri kesirli adi diferansiyel denklemlere indirgeyip çözümlerin elde edilmesini kolaylaştırmaktadır. Ayrıca, Lie simetrileri ve Noether operatörleri arasındaki bağlantı kullanılarak diferansiyel denklemlerin korunum kanunları elde edilebilmektedir. Bu tezde, Lie simetri yöntemi Riemann-Liouville kesirli türevinin yardımı ile lineer olmayan zaman kesirli genelleştirilmiş Drienfeld Sokolov ve Super KdV sistemlerine uygulanıp bu sistemlerin benzerlik dönüşümleri elde edilmiştir. Elde edilen bu benzerlik dönüşümleri kullanılarak bu iki sistem kesirli adi diferansiyel denklem sistemine dönüştürülmüştür. Daha sonra Ibragimov'un, Lie simetrileri ve Noether operatörlerinin ilişkisinden faydalanarak ortaya koyduğu korunum kanunları kullanılarak sistemlerin korunum vektörleri elde edilmiştir. Son olarak indirgenen kesirli adi diferansiyel denklemler için kuvvet seri çözümleri ve bu çözümlerin yakınsaklığı incelenmiştir.Recently, most complex problems in science and engineering have been formulated by nonlinear partial differential equations. Therefore, it has become more important to obtain analytical solutions for analysing the behavioral properties of these equations. The Lie symmetry analysis method, which was introduced by Sophus Lie at the beginning of the 19th century and later named after him, brought a new perspective to the solution of nonlinear partial differential equations. The main purpose of this method is to construct similarity transformations that leave the differential equations invariant form. These similarity transformations reduce a partial differential equation into a ordinary differential equation of fractional order and make it easy to obtain exact solutions. Also, using the connection between Lie symmetries and Noether operators, conservation laws of differential equations can be obtained. In this thesis, the Lie symmetry method is applied to the nonlinear time fractional generalized Drienfeld Sokolov and Super KdV systems in order to acquire similarity transformations for systems with the help of the Riemann-Liouville fractional derivative. These two systems are reduced into fractional ordinary differential equation systems using the similarity transformations. Then, the conserved vectors of the systems are obtained by using the conservation laws that Ibragimov put forward by using the connection between the Lie symmetries and Noether operators. Finally, we obtain explicit power series solutions of the reduced fractional ordinary differential equations and show that these solutions are convergence.