M-LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ VE UYGULAMALARI

Abstract

Bu tezde, lokal türevli lineer diferansiyel denklem sistemleri incelenmiş ve bu sistemlerin çözümüne yönelik yeni yaklaşımlar geliştirilmiştir. Çalışmanın amacı, ?-türevli diferansiyel denklem sistemlerinin genel bir formunu analiz ederek, bu yöntemleri gerçek dünya problemlerine uygulamaktır. Altı bölümden oluşan bu çalışmada, ?-türevli lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümünde ?-?aplace dönüşümü temel araç olarak kullanılmıştır. Çalışmada ayrıca, Cramer metodu lokal türevle entegre edilerek, Mittag-Leffler fonksiyonu yardımıyla daha kapsamlı ve genel çözüm yöntemleri elde edilmiştir. Bu yöntemlerin etkinliği, teorik analizlerle desteklenmiş ve önerilen yöntemlerin avantajları vurgulanmıştır. SIR modeli, tümör büyüme modeli ve kiriş uygulamaları gibi çeşitli gerçek dünya problemleri incelenmiştir. Bu problemler için hem klasik Laplace dönüşümü hem de ?-?aplace dönüşümü kullanılarak çözümler elde edilmiş ve bu çözümler grafiklerle görsel olarak sunulmuştur. Bu çalışma, ?-türevli diferansiyel denklemler alanında önemli bir katkı sunmayı hedeflemekte ve ?-?aplace dönüşümünün, matematiksel modelleme ve mühendislik uygulamalarındaki potansiyelini göstermektedir. Çalışma sonucunda elde edilen yöntem ve analizlerin, diferansiyel denklemler ve kesirli analiz alanındaki literatüre yeni bir perspektif kazandıracağı düşünülmektedir.

In this thesis, systems of linear differential equations with local derivatives are analysed and new approaches to the solution of these systems are developed. The aim of the study is to analyse a general form of ?-derivative differential equation systems and apply these methods to real world problems. In this study, which consist of six chapters, the ?- ?aplace transform is used as the basic tool for solving ?-derivative systems of linear differential equations. In addition, Cramer's methods is integrated with the local derivative and more comprehensive and general solution methods are obtained with the help of the Mittag-Leffler function. The effectiveness of these methods is supported by theoretical analyses and the advantages of the proposed methods are emphasised. Various real world problems such as SIR model, tumour growth model and beam applications are investigated. For these problems, solutions are obtained using both the classical Laplace transform and the ?- ?aplace transform and these solutions are presented visually with graphs. This study aims to make an important contribution to the field of ?-derivative differential equations and demonstrates the potential of the ?- ?aplace transform in mathematical modeling and engineering applications. It is thought that the methods and analyses obtained as a results of the study will provide a new perspective to the literature in the field of differential equations and fractional analysis.